数学【方程式】
１次方程式
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1次方程式において、食塩水の問題の式の立て方を教えてください。
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食塩水の文章題に苦戦している場合、実は食塩水と濃度の関係が理解できていないことが多いので、ここで確認しておきましょう。
濃度は百分率とします。ここでは百分率を用いますが、$p$パーセントと与えられているときは、濃度の部分を$ \dfrac{p}{100}$におき換えてください。
(濃度)＝(食塩の量)÷(食塩水の重さ)
(食塩の量)＝(食塩水の重さ)×(濃度)
(食塩水の重さ)＝(食塩の量)÷(濃度)
という関係です。
また、このとき重要なのは、食塩水の重さとは、(食塩の重さ)＋(水の重さ)ということです。食塩水の問題が出題されるときは、かなり複雑な操作をすることが多いですね。ただ、どんなに複雑な操作をしても、用いるのは上記の３つの関係式です。操作を図示するなど整理し、ていねいに立式していきましょう。
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1次方程式の文章題が苦手です。道のりを求めるような問題の式の立て方を教えてください。
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下記の例で考えてみましょう。
家から駅までを往復するのに、行きは毎時8㎞の速さで自転車で進み、帰りは毎時2㎞の速さで歩いたところ、ちょうど2時間30分かかった。このとき、家から駅までの道のりを求めなさい。求めるものは「家から駅までの道のり」ですから、これを$x$㎞とおいて、等しい数量に着目してから方程式を作りましょう。
問題文の等しい数量関係を取り出すと「家から駅までを往復するのに、行きは毎時8㎞、帰りは毎時2㎞で移動すると、2時間30分かかった」のですから(行きにかかった時間)＋(帰りにかかった時間)＝2時間30分
と立式できます。
時間、道のり、速さの関係は(時間)＝(道のり)÷(速さ)ですから
(行きにかかった時間)＝$\dfrac{x}{8}$（時間）
同様に(帰りにかかった時間)を$x$を使った式で表し、方程式を立て、$x$の値を求めましょう。
なおこのとき、「2時間30分」は「時間」の単位で表すことにも注意します。さて、文章題において方程式を作るポイントは、等しい数量関係を見つけ出すことです。
すぐに$x$を使った式がつくれないときは、言葉を使った式で考えてみるとよいでしょう。たとえば、上の問題で用いた
(行きにかかった時間)＋(帰りにかかった時間)＝2時間30分
のようなものです。
この言葉の関係式を作ったら、その各部分に当てはまる数量を考えていけば、方程式を作ることができます。
このとき「○○は△△と等しい」とか「○○は△△である（になる）」といった表現に注目するのがポイントです。また、図や表を使って、等しい数量を探しやすくすることも大切ですよ。
連立方程式
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連立方程式において、食塩水の問題の式の立て方を教えてください。
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食塩水の文章題に苦戦している場合、実は食塩水と濃度の関係が理解できていないことが多いので、ここで確認しておきましょう。
濃度は百分率とします。ここでは百分率を用いますが、$p$パーセントと与えられているときは、濃度の部分を$ \dfrac{p}{100}$におき換えてください。
(濃度)＝(食塩の量)÷(食塩水の重さ)
(食塩の量)＝(食塩水の重さ)×(濃度)
(食塩水の重さ)＝(食塩の量)÷(濃度)
という関係です。
また、このとき重要なのは、食塩水の重さとは、(食塩の重さ)＋(水の重さ)ということです。食塩水の問題が出題されるときは、かなり複雑な操作をすることが多いですね。ただ、どんなに複雑な操作をしても、用いるのは上記の３つの関係式です。操作を図示するなど整理し、ていねいに立式していきましょう。
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「代入法」と「加減法」の解き方の違いが分かりません。
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《代入法》
一方の方程式から、$y$＝($x$の式)(または、$x$＝($y$の式))を導き、もう一方の方程式に代入して、１つの文字を消去する方法。
この方法は、連立２元１次方程式の２式のうちの一方が、$y$＝($x$の式)または、$x$＝($y$の式)の場合か、すぐにこの形の式に変形できる場合に便利な方法です。例： 連立方程式
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 9 ……➀\\ -2x + 3y = 10 ……➁ \end{array} \right. \end{eqnarray} $
を代入法で解きなさい。与えられた式を見ると、➀を変形すると簡単に$x$＝($y$の式)に直すことができそうです。
そこで、➀より$ \color{red}{x=9-2y} $ ……➂
➂を➁に代入すると
$\begin{eqnarray} -2 \color{red}{x} \color{black}{+3y} &=& 10 \\ -2 \color{red}{(9-2y)} \color{black}{+3y} &=& 10 \\ -18+4y+3y &=& 10 \\ 7y &=& 28 \\ y &=& 4 \end{eqnarray}$
これを➂に代入すると、$x$の値もわかりますね。
《加減法》
一方の文字の係数の絶対値をそろえ、２つの式の左辺どうし、右辺どうしを加えたり引いたりして、その文字を消去する方法。
例： 連立方程式
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2x-5y=-10 ……➀\\ 3x+4y=8 ……➁ \end{array} \right. \end{eqnarray} $
を加減法で解きなさい。$➀ \times 3 - ➁ \times 2$
$\begin{eqnarray} &\color{blue}{6x}& - &15y& &=& &-30& \\ -) &\color{blue}{6x}& + &8y& &=& &16& \\ \hline && - &23y& &=& &-46& \\ && &y& &=& &2& \end{eqnarray}$
これを➀に代入して、もう一方の値を求めましょう。
なお、上では$x$の係数の絶対値をそろえて$x$を消去しましたが、もちろん$y$の係数の絶対値をそろえて$y$を消去することもできます。
$➀ \times 4 + ➁ \times 5$
$\begin{eqnarray} &8x& \color{blue}{-} &\color{blue}{20y}& &=& &-40& \\ +) &15x& \color{blue}{+} &\color{blue}{20y}& &=& &40& \\ \hline &23x& && &=& &0& \\ && &x& &=& &0& \end{eqnarray}$
これを➀に代入して、もう一方の値を求めましょう。