～その疑問、解決します～
学習お助けＱ＆Ａ

単項式・多項式

降べきの順についてです。次数が全て同じだったときは並べ替えなくて良いのでしょうか。
また、次数が同じなのに並べかえたら不正解になりますか。

展開した式の項の並べ方は、『必ずこのように並べなければいけない』というきまりはありません。ですから、項の並べ方の順が正解と異なることを理由に減点されることはありません。
しかし、きまりはないものの、まったく無秩序に並べたのでは、式が見にくく、項の見落としや重複にも気付かないことがありますので、一般的な約束ごとはあります。

その約束とは、

1. 次数の高い順に並べる。

2. 次数が同じ項がある場合には、1つの文字（アルファベット順を考えて、早く登場する文字であることが多い。）に着目し、その文字の字数の高い順に並べる。

3. ab，bc，caのように、アルファベットがぐるっと回るように並べる。

展開・因数分解

因数分解の基本公式は暗記した方が良いのでしょうか。

解の問題を解くときは、はじめに必ず「共通因数があるかないか」を確認するのが基本です。その上で公式(Ⅰ)～(Ⅲ)を利用しましょう。公式(Ⅰ)～(Ⅲ)は乗法公式の逆になっています。乗法公式とあわせて確実に覚えておきましょう。

さて、公式(Ⅰ)～(Ⅲ)を覚えるときは、丸暗記ではなく、問題を解きながら、問題のタイプと利用する公式を関係づけて覚えることが重要です。それには、次のように、それぞれの公式の左辺の形の特徴を確認しておくことがポイントです。

公式(Ⅰ)

$x^2 + (a + b)x + ab =(x+a)(x+b)$

→2数の積が定数で、その2数の和が$x$の係数
→$(x+a)$と$(x+b)$の積

公式(Ⅱ)

$x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2$

→定数項$a^2$が平方数で、$a^2$の平方根の2倍（$2a$）が$x$の係数
→和の平方

$x^2 - 2ax + a^2 = (x-a)^2$

→定数項$a^2$が平方数で、$a^2$の平方根の－2倍（$-2a$）が$x$の係数
→差の平方

公式(Ⅲ)

$a^2 - b^2 =(a+b)(a-b)$

→平方数の差
→和と差の積

たすきがけはどのようなときに使うのでしょうか。たすきがけを使うポイントがあれば教えてください。

まずは、たすきがけの公式を復習しましょう。

$acx^2 + (ad + bc)x + bd $
$= (ax + b)(cx + d)$

この公式を利用するのは、$x^2$の係数が1以外のときです。

なお、$x^2$の係数が1以外であっても、

$2x^2 + s(a + b)x + 2ab $
$= 2(x + a)(x + b)$

このように、式からくくり出せる数があり、その結果$x^2$の係数が1となる場合には、“たすきがけ”は利用しません。この公式を利用するときは、試行錯誤が必要です。

文字と式

割合の問題がいつも解けません。特に％や定価、原価などの問題を解けるようにするには、どうすれば良いでしょうか（例：600円の品物を$\boldsymbol{a}$％値引きして売った時の品物の売値）。

まずは売買関係の問題によく登場する「何％引き」や「何割増」のような、割合の表し方について確認しましょう。

• $x$の$a$％  … $x \times \dfrac{a}{100}$
• $x$の$a$％増 … $x \left( 1 + \dfrac{a}{100} \right)$
• $x$の$a$％減 … $x \left( 1 - \dfrac{a}{100} \right)$

• $x$の$a$割  … $x \times \dfrac{a}{10}$
• $x$の$a$割増 … $x \left( 1 + \dfrac{a}{10} \right)$
• $x$の$a$割減 … $x \left( 1 - \dfrac{a}{10} \right)$

これらを正しく覚えることが重要です。

例で実際に確認してみましょう。
（$600$円の品の$a$％引き）＝（この品物の売値）
公式より、
（$600$円の$a$％）＝$600 \times \dfrac{a}{100}$＝$6a$（円）
この値段を、$600$円から差し引くのですから、
（$600$円の品の$a$％引き）
＝$600 - 6a$（円）… （答え）

さて、売買関係を理解するには、その仕組みを正しく理解することが大切です。売買の仕組みは、次の通りです。
ある品物を原価（仕入れ値ともいいます）で仕入れ、その原価にある割合の利益を上乗せして定価とします。
つまり、

（定価）＝（原価）＋（利益）

普通は定価で売りますが、時には定価より安く売ることもあります。このとき、実際に売る価格を売価といいます。
そして最終的に、

（利益）＝（売価）－（原価）

この関係が成り立ちます。

$\boldsymbol{a \times b}$の答えを$\boldsymbol{ab}$ではなく、$\boldsymbol{ba}$と書いた場合は間違いでしょうか。ルールがあれば教えてください。

文字を含んだ式を書き表すときには、
・次数の高い順（かけあわせた文字の数が多い順）
・アルファベット順
に書く決まりになっています。

したがって、質問の問題の場合、「$ba$」と書いても間違いとはいえませんが、「$ab$」と答えるようにしましょう。

文字式の答えにかっこをつけるのはなぜでしょうか。かっこがないと間違いになりますか。

文字式で数量を表すとき、単位が必要なものには必ず単位をつけて答えます。
このとき、答えの文字式の中に「＋」「－」が入っているとき（答えが多項式の場合）には、式または、単位にかっこをつけてあらわします。
これは、かっこをつけないと、単位がどこまでかかるのかがわかりづらいからです。

なお、計算式では、単位にかっこをつけてあらわす方がわかりやすいのですが、答えでは、式と単位、どちらにかっこをつけてもかまいません。
学校の先生から指示があれば、そちらに従って、普段から統一した方がよいでしょう。
今後、Ｚ会のテストや添削問題などでも、学校の先生の指示通りに書いていただければ正解となりますので安心してくださいね。

また、答えが単項式の場合には、式または、単位にかっこをつける必要はありません。
けれども、かっこをつけても間違いではありませんので、安心してくださいね。

具体的な例もいくつか書いておきますね。

•$(3x+5y)$円 または $3x+5y$(円)
 ：多項式なので、かっこが必要

•答えが文字式で、式と単位が区別しにくいとき
このような場合には、単項式であっても、単位にかっこをつけてあらわすことがあります。

•$xy$ m
 ：単項式なので、かっこは不要
単項式ですから、かっこは不要です。ただし、$xy$(m)とかいても間違いではありません。

•$\dfrac{4a+3b}{7}$g
 ：単項式なので、かっこは不要
$\dfrac{4a+3b}{7}$は、分子に「＋」がありますが、ひとつの分数なので、式や単位にかっこは不要です。

係数に分数を含む方程式 $\boldsymbol{\dfrac{4-3x}{2} - \dfrac{x-8}{3} = 1}$では、両辺に分母の最小公倍数をかけて分母をはらってもよいのに、なぜ方程式ではない計算では分母をはらってはいけないのでしょうか。

良いところに疑問を持ちました。

方程式とは

$\square x = \triangle$

というように、文字を含む等式のことです（$\square$、$\triangle$には数字が入ります）。

方程式を解くには、等式の性質を利用して解いていきます。

・等式の両辺に同じ数をたしても等式は成り立つ。
 A＝B ならば A＋C＝B＋C

・等式の両辺から同じ数をひいても等式は成り立つ。
 A＝B ならば A－C＝B－C

・等式の両辺に同じ数をかけても等式は成り立つ。
 A＝B ならば A×C＝B×C

・等式の両辺を同じ数でわっても等式は成り立つ。
 A＝B ならば A÷C＝B÷C（C≠0）

したがって、分数をふくむ方程式なら、両辺に同じ数をかけて、係数を整数に直して解くことができるのですね。

式の計算は方程式ではありません。
例えば、$\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{2}x$を求めるとき、分母の最小公倍数をかけて、$3x+2x$としてしまうと、もとの式と違う計算になってしまいます。$\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{2}x \neq 3x +2x$ ですね。

$\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{2}x = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{2}{4}x = \dfrac{5}{4}x$ と計算します。

$\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{2}x =5$ と与えられている方程式なら、両辺に$4$をかけて、

$\begin{eqnarray} 3x+2x &=& 20 \\ 5x &=& 20 \\ x &=& 4 \end{eqnarray}$

と求めていくことができます。

違いがわかりましたか？

したがって、$\dfrac{4-3x}{2} - \dfrac{x-8}{3}$では

$\begin{eqnarray} && \dfrac{4-3x}{2} - \dfrac{x-8}{3} \\ &=& \dfrac{4(-2x+5)-5(2x-1)}{20} \\ &=& \dfrac{-8x+20-10x+5}{20} \\ &=& \dfrac{-18x+25}{20} \end{eqnarray}$

と通分して、計算を進めていきましょう。分母をはらってはいけません。

平方根

「$n$を自然数とする。$\sqrt{ 96n }$の値が自然数となるような$n$のうち，最も小さいものを求めなさい。」
こういった問題で$k$で置く理由を教えてください。

$k$を使う考え方は高校数学につながる考え方で、応用範囲が広がります。
「$k$を使った解き方」を理解するには、「$k$を使わない解き方」が橋渡しになるので、まずはその解き方を説明します。

【$k$を使わない解き方】

根号の付いた数を自然数にするためには、根号中の数字が、自然数の2乗になるような数であることが必要です。

（例）
$\sqrt{ 1 } = \sqrt{ 1^2 } = 1$
$\sqrt{ 4 } = \sqrt{ 2^2 } = 2$
$\sqrt{ 9 } = \sqrt{ 3^2 } = 3$
$\sqrt{ 16 } = \sqrt{ 2^2 \times 2^2 } = 2 \times 2 = 4$

よって
$\sqrt{ 96n }$
$= \sqrt{ 2^5 \times 3 \times n }$
      ……$96$を素因数分解した
$= \sqrt{ 2^2 \times 2^2 \times 2 \times 3 \times n }$
  ……$2^5$を$2^2 \times 2^2 \times 2 $とした
$= 4 \sqrt{ 2 \times 3 \times n }$
      ……2乗の数字を根号の外側に出した

次に、$ \sqrt{ 2 \times 3 \times n }$が最も小さい自然数になれば、$\sqrt{ 96n }$の値は最も小さい自然数になることがわかります。$ \sqrt{ 2 \times 3 \times n }$において、2と3の累乗が2となれば根号を外せるので、$n$は$2 \times 3$とわかります。
$ \sqrt{ 2 \times 3 \times n }$
$ = \sqrt{ 2 \times 3 \times 2 \times 3 }$
$ = \sqrt{ 2^2 \times 3^2 }$
$ = 6$
よって、
$\sqrt{ 96n } = 4 \sqrt{ 2 \times 3 \times n }$において
$n= 2 \times 3$ より $n=6$

【$k$を使った解き方】

$ \sqrt{ 96n } = 4 \sqrt{ 2 \times 3 \times n }$において、6×[何かの2乗]となれば、根号を外せて自然数になるとわかります。
$k$を使って考えると、
$ 4 \sqrt{ 2 \times 3 \times ( 2 \times 3 \times k \times k) }$
のようにかけます。
よって、$ n = 6k^2 $($k$は自然数)と置けます。
※実際に解く過程をかく場合は、いきなり「$n=6k^2$と置く」のみでOKです。

$\sqrt{ 96n }$の値が最も小さい自然数になるときは$k=1$のときなので、$n=6k^2$より$n=6$とわかります。

【$k$を使うと解きやすい例題】

《問題》$n$を自然数とする。$\sqrt{ 96n }$の値が自然数となるような$n$のうち、3つ目に小さいものを求めなさい。
《解答》3つ目と$k$は対応するので、元の問題における$n=6k^2$で、$k=3$の時なので、$n=54$となります。

二重根号の公式がわかりません。