数学【関数】
１次関数
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「変数」と「定数」の違いを教えてください。
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まずは、それぞれの用語を確認してみましょう。
変数 … いろいろな値をとる文字
定数 … 一定の（ひとつの）値をとる文字や数
どちらも何かの値をとる文字のことを指して使われているので、違いがわかりにくいかもしれません。
例題で確認してみましょう。自動車が一定の速さ、毎時$a$㎞で走っているとき、自動車の走った時間を$x$時間、進んだ道のりを$y$㎞とする「進んだ道のり」は「走った時間」にともなって変化します。つまり$y$は$x$にともなって変化し、$x$と$y$はいろいろな値をとることから、$x$と$y$は変数です。
一方、$a$は「一定の速さ」であることから、定数です。
定数$a$は、毎時40㎞のように数字が当てはまる場合もありますが、「時速何㎞かわからないけれど、一定の速さ」を表しており、数字を当てはめたときと同様に、$a$は変化しません。
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「変域」の意味を教えてください。
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例題で確認していきましょう。
全長320㎞の道において、自動車が一定の速さ、毎時40㎞で走っているとき、 自動車の走った時間を$x$時間、進んだ道のりを$y$㎞とするこの場合の変域を考えてみましょう。ここで、進めるのは320㎞までなので、$y$の変域は、0≦$y$≦320 となります。
320㎞進むのに、320÷40＝8より8時間かかるので、$x$の変域は、0≦$x$≦8 となります。
変数に何かの条件（この例では道の全長）がある場合、変域を考えることになります。
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$f(x)$の意味を教えてください。
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$f(x)$は関数を意味しますが、関数の定義も確認しましょう。
2つの変数$x$、$y$があって、$x$の値を1つ定めると、それに応じて$y$の値がただ1つ決まるとき、$y$は$x$の関数であるといいます。$f(x)$は「$x$の関数」を、$y = f(x)$は「$y$は$x$の関数」を意味し、表し方は、関数 $y = f(x)$や単に関数$f(x)$と表すことが多いです。
そればかりでなく、「$x = a$のときの$y$の値を$f(a)$」と表すことができるので書き方として便利です。
ちなみに、$f(x)$の$f$は、function（＝関数）の頭文字をとったものです。$f(x)$の便利さを例で見てみましょう。
$x$の関数$5x-3$について、$x=2$のときの値を求めなさい。を$f(x)$を使って表すと、
$f(x)=5x-3$の$f(2)$の値を求めなさい。なので、$f(x)$を使った方が簡潔ですね。
また、異なった関数が2つ以上ある場合、すべて$f(x)$とおくと関数の区別がつかないので、$g(x)$のように別の文字を用いて表すこともあります。
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45°の角度の傾きが1になるのはなぜですか。
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わかりやすいように、図1のような三角形OABについて考えてみましょう。
1辺の長さが1の正方形に対角線OAを引くと、直角二等辺三角形OABができます。
△OABはAB＝BCの直角二等辺三角形なので、$\angle$AOB＝45°です。傾き＝$y$の増加量$x$の増加量という式で求められるので、直線OAの傾きは11＝1となります。
次の図2の直角二等辺三角形OABについても同じように考えることができます。
A($0$，$1$) B($1$，$0$) だから、
傾き＝$0-1$$1-0$＝$-1$$1$＝$-1$
このようになります。
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垂直な２直線の傾きを求める公式はなぜ成り立つのでしょうか。
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２つの直線$y=mx+n$と$y=m'x+n'$について、グラフが垂直に交わるとき、$mm'=-1$となることについて、もう少し詳しく説明しましょう。
わかりやすいように、原点を通る２つの直線で説明します。
上の図のように、直線ℓ$; y=mx$、そして、$y=mx$と$x$軸に囲まれた底辺１の直角三角形を考えます。
この直線の傾きは$m$ですから、高さは$m$ですね。
次に、この図形を右回りに90°回転させます。
すると直線ℓと垂直に交わる直線$k; y=m'x$が得られます。
先ほど考えた直角三角形の底辺と高さにあたる辺もそれぞれ右に90°回転しています。そこで、この図より、直線$k$の傾き$m'$を求めると、
直線$k$の傾き：$m'= -\dfrac{1}{m}$
であることがわかります（この直線は、右に$m$、下に$-1$という傾きを持ちます）。
以上のことより、２つのグラフが垂直に交わるとき、
$mm'=-1$
を説明することができます。
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傾きと通る1点がわかっている直線の式を $y=m(x-x_1)+y_1$ と表せるのはなぜですか。
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傾き$m$の直線の式は $y=mx+b$（$b$は定数）とおくことができますね。
この直線が点（$x_1$, $y_1$）を通るので、$y=mx+b$に、$x=x_1$、$y=y_1$を代入した$y_1=mx_1+b$
が成り立ちます。この式を変形すると、
$b=y_1-mx_1$
となり、これを$y=mx+b$の$b$に代入すると、
$y=mx+(y_1-mx_1)$
$y=mx-mx_1+y_1$
$\colorbox{#ccffff}{$y=m(x-x_1)+y_1$}$この公式は、直線の式を求めるのにたいへん便利です。覚えておきましょう。
２次関数
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２次関数$y=ax^2$上の2点を通る直線の式の簡単な求め方はありますか。
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放物線$y=ax^2$上の2点の座標をそれぞれ$A(p, ap^2)$，$B(q, aq^2)$とします。
この2点$A$，$B$を通る直線の式を求めてみましょう。
求める直線の式を $y=mx+n$ とします。
2点$A(p, ap^2)$，$B(q, aq^2)$を通る直線の傾き$m$は$\begin{eqnarray} m &=& \dfrac{aq^2-ap^2}{q-p} \\ &=& \dfrac{a(q^2-p^2)}{q-p} \\ &=& \dfrac{a(q+p)(q-p)}{q-p} \\ &=& a(p+q) \end{eqnarray}$
ですから、これを $y=mx+n$ に代入すると
$y=a(p+q)x+n$
この直線が点$A(p, ap^2)$を通るので、$x=p$，$y=ap^2$を代入すると
$\begin{eqnarray} ap^2 &=& a(p+q)p+n \\ ap^2 &=& ap^2+apq+n \\ n &=& x-apq \end{eqnarray}$
となります。
＊$B(q, aq^2)$ を用いてもよいです。どちらを用いても同じ結果になります。
よって、求める直線の方程式は
$\colorbox{#ccffff}{$y=a(p+q)x-apq$}$
この式は公式として覚えておくとよいでしょう。
これを$y+apq=a(p+q)x$
と変形しておくと、左から順に
$y$＋(2次関数の係数)・(通る点の$x$座標の積)＝(2次関数の係数)・(通る点の$x$座標の和)・$x$
となり、覚えやすいですね。