標準国公私大コース 理系数学
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XMNA1A-Z1C2-01   次の各問いに答えよ。(25点)⑴実数x,yに対し,等式(x2+1)(y2+1)=(xy+1)2+(x¡y)2が成り立つことを示せ。(6点)⑵実数x,yに対し,不等式x2¡2xy+3y2¸0がつねに成り立つことを示せ。(6点)⑶等式x2+(k¡1)x¡2k¡2=0がkの値にかかわらず成り立つようなxの値を求めよ。(6点)⑷x>1のとき,x¡1+1x¡1の最小値を求めよ。また,最小値をとるxの値を求めよ。(7点) 式と証明からの出題。盲点となりやすい分野なので,基本をしっかり確認しておこう。⑴左辺と右辺をそれぞれ整理すればよい。⑵x,yについての2次式であることと,「¸0」を示すことに着目して 平方完成する(2乗の形をつくる)ことを考えればよい。⑶「kの値にかかわらず」とあるのでkの恒等式とみればよく,kについて整理するのが第一歩。⑷○+1○という形をしているので,相加・相乗平均の関係を用いればよい。 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑴与式の左辺と右辺はそれぞれ (x2+1)(y2+1)=x2y2+x2+y2+1(xy+1)2+(x¡y)2=x2y2+2xy+1+x2¡2xy+y2=x2y2+x2+y2+1となるので (x2+1)(y2+1)=(xy+1)2+(x¡y)2が成り立つ。(証終)⑵与式の左辺は x2¡2xy+3y2=(x¡y)2¡y2+3y2=(x¡y)2+2y2▲xの2次関数とみて平方完成する。よって,(x¡y)2¸0,2y2¸0なので x2¡2xy+3y2¸0▲等号はx¡y=0かつy=0つまり,x=y=0のときに成り立つ。がつねに成り立つ。(証終)⑶与式の左辺をkについて整理すると (x¡2)k+x2¡x¡2=0これがkの値にかかわらず成り立つので x=2かつx2¡x¡2=0……………………………①▲①の2式をみたすxが答なので,x2¡x¡2=0が成り立つことも確認しておくこと。x=2のときx2¡x¡2=0なので,求めるxの値は x=2(答)[見本] 本科 標準国公私大コース 理系数学 解答解説編

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