標準国公私大コース 理系数学
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XMNA1A-Z1C2-02⑷x>1よりx¡1>0なので,相加・相乗平均の関係より x¡1+1x¡1¸2E(x¡1)¢1x¡1=2が成り立つ。また,等号成立条件は x¡1=1x¡1∴(x¡1)2=1x¡1>0なので x¡1=1∴x=2以上より,x¡1+1x¡1は x=2のとき,最小値2(答)をとる。・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 等式・不等式の証明等式A=Bを証明するときは アAかBの一方を変形して,他方を導くイA,Bをそれぞれ変形して,同じ式を導くウA¡B=0であることを示すといった方針が有効である。どれも本質的には同じことではあるが,示す式の形を見てラクな方針を選ぶのがよいだろう。⑴ではイの方針で証明したわけだ(ウの方針でもそれほど大差ない)。また,不等式A>Bを証明するときは A¡B>0であることを示すという方針が有効であり,さらに,A¡Bの部分を (正の数)+(正の数),(正の数)£(正の数)のように変形するとうまくいくことが多い。⑵では,(実数)2¸0であることに着目して (0以上の数)+(0以上の数)の形をつくったわけだ(等号が入っても同じこと)。他にも,平方根や絶対値を含む式の場合 両辺が正であることを確認して両辺を2乗した式を示すという方針も有効である。以下の例題で確認してみよう。〔例題〕a>0,b>0のとき,pa+pb>pa+bを示せ。(考え方)この例題では,pa+pb>0,pa+b>0なので (pa+pb)2>(pa+b)2を示すのが目標であり,上記の方針に従って(左辺)¡(右辺)を考える。根号が少なくなって扱いやすくなるわけだ。(解答)(pa+pb)2¡(pa+b)2=(a+2pab+b)¡(a+b)=2pab>0より (pa+pb)2>(pa+b)2が成り立つ。よって,pa+pb>0,pa+b>0なので pa+pb>pa+bが成り立つ。(証終)証明問題では,ただやみくもに式変形するのではなく,上記のような方針を念頭において考えることを心がけよう。[見本] 本科 標準国公私大コース 理系数学 解答解説編

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