過去問題

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筑波大学附属駒場中学校の算数にTRY!

「カコモンにTRY!」は、過去の中学入試で出題された問題の中から、中学受験コースの皆さまに挑戦していただきたい問題を紹介するコーナーです。
ぜひ、お子さまと一緒に取り組んでみてください。

※ 5年生以上で習う漢字には( )で読み仮名をつけています。

【2016年12月22日】

今回の問題をご紹介(しょうかい)する理由

今回は,正多角形を題材とした,規則性(きそくせい)に関する問題を紹介します。
難関(なんかん)中学の算数で出される規則性の問題は,一見しただけでは規則が読み取れないような場合がほとんどです。そういった場合には,問題文に示(しめ)されたルールに従(したが)って,具体的な例を地道に考え,規則を見つけていくことが大切です。
今回紹介する問題もそのひとつです。問題文を読んだだけで内側にできる三角形の個数についての規則を読み取ることは難(むずか)しいので,正三角形,正方形など,まずは具体的な例を書きながらねばり強く考えることがポイントです。入試でも差がつく1問ですので,ぜひ,実際(じっさい)に手を動かしながら考えてみてください。

今回のレベル:★★★

★:3・4年生も理解できる基礎的な問題
★★:4・5年生ががんばって解ける問題
★★★:6年生向けハイレベル問題     

【問題】 

2016年度 筑波大学附属駒場中学校
正多角形の内側にいくつか点があるとき、正多角形の頂点(ちょうてん)やこれらの点をまっすぐな線で結び、正多角形の内側をできるだけ多くの三角形に分割(ぶんかつ)します。ただし、頂点や内側の点を結ぶ線は交わってはいけません。また、内側の点が3個(こ)以上一直線に並(なら)ぶことはありません。

正三角形の内側にいくつか点があるとき、たとえば図のように三角形に分割できます。
なお例1では、内側にできた三角形の個数は7個です。

 次の問いに答えなさい。

 (1)次のそれぞれの場合で、内側にできる三角形の個数を求めなさい。
   (ア)正方形と4点
   (イ)正五角形と5点

 (2)正2016角形と28個の点のとき、内側にできる三角形の個数を求めなさい。 

攻略法

【解答】(かいとう)

(1)(ア)10個 (イ)13個
(2)2070個

【解説】(かいせつ)

内側にできる三角形の個数について,具体的な例を用いて規則を考えます。
たとえば,正三角形や正方形で考えると,

のように,点が1個増(ふ)えるごとに,1つの三角形を3つに分割するため,内側にできる三角形は,
3−1=2(個)ずつ増えることがわかります。
(1)(ア)正方形と4点の場合,上の図で考えたとおり,内側にできる三角形の個数は10個です。
(イ)正五角形だと,点が1個のとき,三角形は5個できます。そこから点が1個増えるごとに三角形は2個ずつ増えていくから,正五角形と5点の場合,
5+2×(5−1)=13(個)
(2)正2016角形だと,点が1個のとき,三角形は2016個できます。そこから点が1個増えるごとに三角形は2個ずつ増えていくから,正2016角形と28点の場合,
2016+2×(28−1)=2070(個)
 

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