いかるがさんの(1)の回答：
x軸に関してAと対称な点をBとし、直線y=xに関してAと対称な点をCとするとき、線分BCとx軸、直線y=xとの交点をそれぞれP,Qとすればよい。
北海道 いかるがさん
クリティカル・シンキング／みんなの意見 1月の回答選と解説
高１
高１・高２ １月度（2020NEM01）
新入試準備室｜数学科の宿題
新入試準備室｜数学科の宿題
今回の課題
「数学の準備室」にようこそ！ 今回の宿題は以下の通りです。
今回の回答選
沖縄県 上々さん
岩手県 オイラさん
上々さんの(2)の回答：
放物線Cの接線のうち、直線ABと平行であるものとの接点をPとすればよい。
オイラさんの(2)の回答：
線分ABの中点を通り、放物線Cの軸と平行な直線とCとの交点をPとすればよい。
【問題の解説】にあるように，△ABPの面積が最大になるような点Pのとり方を考えます。
Pを通りABに平行な直線と放物線Cが、Pと異なる点Qで交わるとします。このとき、放物線C上のPとQの間に点Rをとれば、Rと直線ABとの距離は、点Pと直線ABとの距離より長くなり，この場合は△ABPの面積が最大にはなりません。
よって、△ABPの面積が最大になるように点Pをとるとき、Pを通りABに平行な直線と放物線Cは、Pと異なる点で交わることはないので、上々さんの回答のように点Pをとればよいことになります。
オイラさんの点のとり方が正しいことを示すのはやや大変なので、ここでは天下り的な方針のみを示します。
放物線Cの方程式をy=kx^2 (kは0でない定数。なお、x^2は「xの2乗」を表します）とおいても一般性を失いません。このとき、A,Bのx座標をそれぞれa,bとすると、線分ABの中点Mのx座標は(a+b)/2となります。Mを通り放物線Cの軸（y軸）と平行な直線と放物線Cとの交点をPとすると、Mのx座標とPのx座標は一致します。そして、Pを通りABに平行な直線は放物線Cに接することが示せるので、上々さんの回答が正しいのと同じ理由により、オイラさんの回答の点のとり方も正しいことになります。
大分県 モケーレ・ムベンベさん
モケーレ・ムベンベさんの(3)の回答：
優弧ABの中点をPとすればよい。
（編集部注）円の2つの弧のうち長い方を優弧といいます。
点Pが弧AB上を動くとき、円周角の定理より∠APBの大きさは一定です。そして、
△ABP=1/2・AP・BP・sin∠APB
より、線分の長さの積AP・BPの値が最大になるのは、△ABPの面積が最大になるときです。
よって、モケーレ・ムベンベさんの回答のように優弧ABの中点をPとすれば、△ABPの面積が最大になりますね。
Ｚ会のつぶやき
数学科からの第3回目の宿題はいかがでしたか。点のとり方を説明するという見慣れない問題であったことに加え、図形的な見方を加えて条件を読み替えることがポイントになっていたため、やや難しく感じたかもしれません。そのせいか、投稿してくれた会員さんが少なかったのがとても残念でした。
いかるがさんの回答にあるように点B,Cをとると、x軸、直線y=xはそれぞれ線分AB,ACの垂直二等分線になるので
AP=BP,AQ=CQ
が成り立ちます。よって
AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ
より、△APQの周の長さは、折れ線BP,PQ,QCの長さの和に等しく、この和が最小になるのはP,Qが線分BC上にあるときなので、線分BCとx軸、直線y=xとの交点をそれぞれP,Qとすればよいわけですね。